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Montag, 3. Oktober 2016

Paradoxa: I


Deutsch

Heute drei Paradoxa mit I.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Um diese Regel zu befolgen, muss man sie ignorieren. Doch wenn man sie ignoriert, dann kann man sie nicht befolgen.

Analyse

Der logische Widerspruch erinnert an das Barbier-Paradoxon . Es ist nicht möglich, ihn zu beseitigen. – Auch nicht mit mit dem wohlbekannten Keine Regel ohne Ausnahme! bzw. Jede Regel hat eine Ausnahme! Denn:

  1. Jede Regel hat eine Ausnahme! ⇒
  2. Jede Regel hat eine Ausnahme! hat eine Ausnahme! ⇒
  3. Es gibt eine Regel ohne Ausnahme.
1. und 3. stehen im Widerspruch zueinander. Folglich ist die Aussage Jede Regel hat eine Ausnahme! falsch und keine Regel hat eine Ausnahme. Das Paradoxon bleibt bestehen.

Aussage

Ein Paradoxon aus dem Alltag: Man möchte mit dem Bus zur Arbeits- oder Ausbildungsstätte fahren und da die Busse alle 10 Minuten fahren, geht man einfach ohne auf die Uhr zu schauen zur Haltestelle. Auch, wenn mal ein Bus Verfrühung oder Verspätung hat, so kommt doch im Durchschnitt alle 10 Minuten ein Bus und die durchschnittliche Wartezeit sollte somit auch nur 10/2 = 5 Minuten betragen. Tatsächlich wartet man aber meistens länger!

Analyse

Betrachten wir für die mathematische Analyse nur ein halboffenes 20-Minuten-Intervall, in dem zwei Busse ankommen (planmäßig nach 10 und nach 20 Minuten). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit hat der erste Bus Verspätung und kommt nach (10 + t) Minuten, wobei t > 0. Der zweite Bus kommt wieder pünktlich nach 20 Minuten. Wenn man jetzt an einem beliebigen Zeitpunkt zur Haltestelle geht, d. h. die Haltestelle inspiziert, kommt man mit einer Wahrscheinlichkeit von (10 + t)/20 vor dem ersten Bus und mit einer Wahrscheinlichkeit von (10 - t)/20 nach dem ersten Bus an. Kommt man irgendwann vor dem ersten Bus an, muss man im Durchschnitt (10 + t)/2 Minuten warten, andernfalls (10 - t)/2 Minuten. Somit beträgt die erwartete Wartezeit für jemanden, der irgendwann im 20-Minuten-Intervall an die Haltestelle kommt, [(10 + t)/20 · (10 + t)/2] + [(10 - t)/20 · (10 - t)/2] = 5 + t2/20 Minuten. Da t > 0, ist auch die Wartezeit größer als 0. Kommt bspw. der erste Bus mit t = 5 Minuten Verspätung, so beträgt die erwartete Wartezeit 6:15 Minuten.

Aussage

Eine natürliche Zahl sei interessant, wenn sie eine besondere Eigenschaft besitzt. Zum Beispiel ist die 2 eine interessante Zahl, weil sie die einzige gerade Primzahl ist. Demzufolge sei eine Zahl uninteressant, wenn sie keine besondere Eigenschaft besitzt. Man kann nun beweisen, dass es keine uninteressanten Zahlen gibt:

Angenommen, es gäbe eine nichtleere Menge uninteressanter natürlicher Zahlen. Dann gibt es unter ihnen eine kleinste. Allein diese Eigenschaft macht sie jedoch zu einer interessanten Zahl, was im Widerspruch zu ihrer Uninteressantheit steht.

Analyse

Das Paradoxon entsteht aufgrund der Vagheit von besondere Eigenschaft. Wenn man klar definiert, was damit gemeint ist, dann gibt es natürlich uninteressante Zahlen, sofern man Minimalität nicht als besondere Eigenschaft wertet. Andernfalls kann man natürlich zu jeder Zahl irgendetwas Besonderes finden:

1: neutrales Element der Multiplikation
2: kleinste gerade Primzahl
3: Anzahl der Raumdimensionen, in denen wir leben
4: Anzahl der Farben, die ausreicht, um eine beliebige ebene Landkarte zu färben
5: Anzahl platonischer Körper
6: kleinste perfekte Zahl
7: kleinste Eckenzahl eines regelmäßigen Polygons, das nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist
8: größte Kubikzahl in der Fibonacci-Folge
9: Anzahl von Kubikzahlen, die maximal nötig ist, um sie zu einer beliebigen natürlichen Zahl aufsummieren zu können
...
Quelle: What's Special About This Number?


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