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Montag, 26. September 2016

Paradoxa: H


Deutsch

Für die neuen Leser: Dieser Beitrag ist Teil der Paradoxa-Reihe. Jeden Montag stelle ich in alphabetischer Reihenfolge drei Paradoxa vor. Wer sich das bis nächste Woche nicht merken kann oder auch automatisch über andere Beiträge informiert werden möchte, kann gerne meinen Blog per E-Mail abonnieren. Dazu einfach am rechten Rand im Feld E-Mail folgen eine E-Mail-Adresse eingeben und bestätigen. Allerdings lohnt es sich immer, den Beitrag dann auf dieser Seite zu lesen; manchmal werden in der automatisch erzeugten E-Mail-Version Sachen schlecht formatiert.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Die folgenden beiden Aussagen werden wohl von allen akzeptiert:

  1. (1) 10.000 Sandkörner sind ein Haufen.
  2. (2) Wenn n Sandkörner ein Haufen sind, dann sind auch (n-1) Sandkörner ein Haufen.
Aus ihnen folgt jedoch, dass 0 Sandkörner ein Haufen sind, denn:
  1. (1) ⇒ 10.000 Sandkörner sind ein Haufen.
  2. (2) ⇒ 9.999 Sandkörner sind ein Haufen.
  3. (2) ⇒ 9.998 Sandkörner sind ein Haufen.
  4.  ⋮
  5. (2) ⇒ 2 Sandkörner sind ein Haufen.
  6. (2) ⇒ 1 Sandkorn ist ein Haufen.
  7. (2) ⇒ 0 Sandkörner sind ein Haufen.
Und dass 0 Sandkörner ein Haufen sind, wird wohl nicht von allen akzeptiert.
Für 10.000 kann man natürlich auch jede andere Zahl einsetzen, von der man meint, dass so viele Sandkörner auf alle Fälle ein Haufen sind. Durch die wiederholte Anwendung von Schritt (2) kommt man immer zum gleichen Ergebnis. Wer meint, dass Schritt (2) falsch ist und es eine Zahl m gibt, für die gilt, dass m Sandkörner ein Haufen sind, (m-1) Sandkörner jedoch nicht, der kann mir diese Zahl gern mitteilen.

Analyse

Das Problem ist, dass Haufen kein genau definierter Begriff ist, sondern einfach nur eine große Menge von etwas beschreibt. Man kann trotzdem versuchen, das Paradoxon aufzulösen:

  • Man könnte einen Haufen als eine Ansammlung von Objekten gleichen Typs wie eine Liste, einen Stapel oder eine Warteschlange in der Informatik betrachten: Ein Stapel Bücher ist ein Stapel, egal, wie viele Bücher auf ihm liegen. Ein Stapel kann leer sein oder auch nur ein Buch enthalten. Diese Betrachtungsweise entspricht aber nicht der umgangssprachlichen Verwendung dieser Begriffe.
  • Man könnte eine Grauzone einführen, in der die Anzahlen liegen, bei denen man nicht genau sagen kann, ob es sich bei einer Ansammlung von Sandkörnern in diesem Zahlenbereich um einen Haufen handelt oder nicht. Allerdings kann man die Abgrenzung zwischen den Zahlenbereichen für Haufen, Haufen oder kein Haufen und kein Haufen genau so schlecht festlegen wie die Abgrenzung zwischen den Zahlenbereichen für Haufen und kein Haufen ohne Grauzone.
  • Man könnte generell sagen, dass man nicht genau festlegen kann, ob eine Ansammlung von Sandkörnern ein Haufen sind oder nicht, sondern, dass man nur gradieren kann und immer eine Vergleichzahl braucht: So wäre eine Ansammlung von 500 Körnern weniger Haufen als eine Ansammlung von 800 Körnern und eine Ansammlung von 10 Körnern wäre mehr Haufen als eine Ansammlung von 0 Körnern.
Keine dieser Auflösungen ist wirklich zufriedenstellend. Also bleibt uns vorerst wohl nichts anderes übrig, als die Vagheit der Sprache hinzunehmen. Das Paradoxon tritt allerdings nicht nur in der Sprachphilosophie auf, sondern auch in der Verhaltensforschung oder im Tierreich. Im Folgenden möchte ich daher noch vom Frosch im kochenden Wasser erzählen.
  1. (1) Ein Frosch in 20 °C warmem Wasser fühlt sich wohl.
  2. (2) Wenn sich ein Frosch in n °C warmem Wasser wohlfühlt, dann fühlt er sich auch in (n+0,01) °C warmem Wasser wohl (weil ein Frosch einen Temperaturunterschied von 0,01 °C gar nicht wahrnehmen kann).
Folglich würde ein Frosch, den man in 20 °C warmes Wasser setzt, welches man sehr langsam erwärmt, nicht aus dem Wasser herausspringen und schlussendlich verbrühen. Ehe sich jetzt jemand einen Frosch fängt und das zu Hause ausprobieren möchte: Das haben schon Leute gemacht. Während ältere Studien behaupten, dass man das Wasser nur langsam genug erhitzen müsse, damit der Frosch verbrüht, sagen neuere, dass ein Frosch in jedem Fall herausspränge, wenn er die Möglichkeit dazu habe.

Aussage

Es existiert ein Teilstück D der Kugel S, so dass S\D (S ohne D) in zwei Teile zerlegt werden kann, die beide äquivalent zu S\D sind.
Dieses Paradoxon bildet die Grundlage für das Banach-Tarski-Paradoxon:
Man kann eine Kugel so in endlich viele Teile zerlegen, dass man aus diesen Teilen zwei Kugeln zusammensetzen kann, die beide äquivalent zur Originalkugel sind.
Wie das genau funktionieren soll, erklärt Michael Stevens sehr anschaulich in seinem Video The Banach–Tarski Paradox. Wir wollen uns hier nicht weiter mit dem Beweis beschäftigen.

Analyse

Das Banach-Tarski-Paradoxon behauptet, man könne eine Kugel geschickt so zerlegen und wieder zusammensetzen, dass man hinterher zwei Kugeln hat, die genau so groß sind wie das Original.
In der mathematischen Theorie funktioniert das, weil man davon ausgehen kann, dass eine Kugel aus unendlich vielen Punkten besteht. In der physikalischen Praxis sieht das (nach dem heutigen Kenntnisstand) aber anders aus: Eine Kugel in der realen Welt besteht nur aus einer endlichen Anzahl von Teilchen und diese kann man nicht so aufteilen, dass man aus den Teilen zwei Kugeln der Größe des Originals zusammensetzen kann.
Um die Bedeutung des Unterschieds zwischen Unendlichkeit und Endlichkeit besser nachvollziehen zu können, stellen wir uns eine Warteschlange vor, in der unendlich viele Menschen stehen. Es ist nun möglich, diese Menschen in zwei Warteschlangen unterzubringen, die beide genauso lang sind, wie die ursprüngliche Warteschlange. Dazu nehmen wir einfach jeden zweiten Wartenden und reihen ihn in eine zweite Warteschlange ein. Stellen wir uns jedoch eine Warteschlange vor, in der nur endlich viele Menschen stehen, so ist es nicht möglich, diese Menschen in zwei Warteschlangen unterzubringen, die beide genauso lang sind wie die ursprüngliche Warteschlange.

, Banach–Tarski paradox

Aussage

Ein Häftling sitzt im Todesblock. Man hat ihm gesagt, dass er im Laufe der kommenden Woche an einem für ihn unerwarteten Tag hingerichtet wird. Hinrichtungen sind immer Mittags. Nun denkt er sich: Wenn ich nach Sonnabendmittag noch lebe, dann muss ich am Sonntag hingerichtet werden. Das wäre dann aber nicht unerwartet. Also kann ich nicht am Sonntag hingerichtet werden. Wenn ich nach Freitagmittag noch lebe, dann muss ich am Sonnabend oder Sonntag hingerichtet werden. Da ich den Sonntag bereits ausgeschlossen habe, muss ich am Sonnabend hingerichtet werden. Das wäre dann aber nicht unerwartet. Und so weiter ... Erfreut kommt der Häftling zu dem Schluss, dass er jeden Tag ausschließen kann und somit gar keine Hinrichtung für ihn angesetzt ist. Und so kommt es sehr unerwartet für den Häftling, als man ihn an einem der Tage aus seiner Zelle holt und hinrichtet.

Eine weniger brutale Version ist die Lehrerin, die der Klasse einen Überraschungstest für die nächste Woche ankündigt.

Analyse

Die Logik des Gefangenen enthält offensichtlich einen Fehler. Diesen kann man an mehreren Stellen finden:

  1. Zu Recht kann der Häftling den Sonntag ausschließen, wenn er davon ausgeht, dass man ihm die Wahrheit gesagt hat. Am Sonnabend kann er dann jedoch nicht wissen, ob man ihm die Wahrheit gesagt hat und er am Sonnabend hingerichtet wird oder ob man ihn belogen hat und er am Sonntag hingerichtet wird. Somit kann er auch am Sonnabend (oder an einem beliebigen Tag davor) unerwartet hingerichtet werden.
  2. Die beiden Annahmen des Häftlings, 1. dass er am Sonntag hingerichtet wird, wenn er nach Sonnabendmittag noch lebt, und 2. dass er an einem unerwarteten Tag hingerichtet wird, widersprechen sich. Ergo darf er auch keine weiteren Schlüsse ziehen.
  3. Der Häftling beginnt seine logische Kette mit der Voraussetzung Wenn ich nach Sonnabendmittag noch lebe. Da diese Aussage aber nicht sicher ist, kann er daraus auch nichts folgern.
Anmerkung: Aus falschen Aussagen bzw. Widersprüchen kann man grundsätzlich alles folgern – auch weitere falsche Aussagen.


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