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Montag, 12. September 2016

Paradoxa: F


Deutsch

Aus dem Effeff: Drei weitere Paradoxa.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Die drei Aussagen

  1. Die meisten Leute werden von wissentlich fiktiven Personen (wie Harry Potter), Dingen (wie dem Sprechenden Hut) oder Ereignissen (wie Dumbledores Tod) emotional berührt,
  2. Um emotional berührt zu werden, muss man glauben, dass die auslösenden Personen, Dinge oder Ereignisse real sind und
  3. Niemand glaubt gleichzeitig von etwas, dass es fiktiv und real ist
scheinen alle für sich wahr zu sein. Trotzdem schließen je zwei der Aussagen die verbliebene dritte aus, d. h. alle drei Aussagen können nicht gleichzeitig wahr sein.

Formal ausgedrückt: Sei F = Man glaubt von etwas, dass es fiktiv ist, R = Man glaubt von etwas, dass es real ist und E = Man wird von etwas emotional berührt. Die Verknüpfung der drei Aussagen (F ∧ E), (E ⇒ R) und ¬(F ∧ R) ist bei jeder möglichen Belegung von F, R und E falsch (0) und niemals wahr (1). Beweis durch Wahrheitstafel:

FRE(F ∧ E)(E ⇒ R)¬(F ∧ R)(F ∧ E) ∧ (E ⇒ R) ∧ ¬(F ∧ R)
0000110
0010010
0100110
0110110
1000110
1011010
1100100
1111100

Analyse

Um den Widerspruch zu beseitigen, muss man sich die drei Aussagen anschauen. Entpuppt sich eine von ihnen als falsch, widersprechen sich die anderen beiden nicht mehr. Allerdings kann man für jede der Aussagen argumentieren, dass sie falsch ist:

  1. Man könnte meinen, dass die Leute von wissentlich fiktiven Personen, Dingen oder Ereignissen überhaupt nicht richtig emotional berührt werden, sondern nur etwas weniger Starkes empfinden. Zwar kann man eine gewisse emotionale Nähe zu fiktiven Personen etc. aufbauen, diese ist jedoch nicht vergleichbar damit, wie einen reale Personen etc. emotional berühren.
  2. Auch könnte man meinen, dass man nicht glauben muss, dass etwas real ist, um davon emotional berührt zu werden. So können reale Personen etc. die gleichen Emotionen auslösen wie fiktive.
  3. Und schlussendlich könnte man meinen, dass man sehr wohl gleichzeitig von etwas glauben kann, dass es fiktiv und dass es real ist, bzw. dass wir in unserer Wahrnehmung überhaupt keinen Unterschied zwischen fiktiven und realen Personen etc. machen.

Aussage

Angenommen, jede Wahrheit ist erkennbar. Dann folgt daraus, dass jede Wahrheit bekannt ist.

Beweis: Sei p eine beliebige Aussage. Angenommen, p ist eine unbekannte Wahrheit, d. h. p ist wahr, aber es ist nicht bekannt, dass p wahr ist. Dann ist die Aussage p ist eine unbekannte Wahrheit wahr. Da per Annahme jede Wahrheit erkennbar ist, müsste auch p ist eine unbekannte Wahrheit erkennbar sein. Aber das ist sie nicht, denn sobald man erkennt, dass p eine unbekannte Wahrheit ist, erkennt man auch, dass p wahr ist. Somit ist p nicht länger eine unbekannte Wahrheit, sondern eine bekannte, und die Aussage p ist eine unbekannte Wahrheit würde falsch. Also kann die Aussage p ist eine unbekannte Wahrheit nicht gleichzeitig wahr und bekannt sein. Da per Annahme aber jede Wahrheit erkennbar ist, kann p ist eine unbekannte Wahrheit nur falsch sein. Somit war die Annahme für p falsch und p muss bekannt oder falsch sein. Da p beliebig ist, muss jede Aussage bekannt oder falsch und damit insbesondere jede wahre Aussage bekannt sein.

Analyse

Da in der Formulierung von (Frederic) Fitchs Paradoxon (der Erkennbarkeit) die Beziehung jede Wahrheit ist erkennbarjede Wahrheit ist bekannt schon bewiesen ist, gibt es nur zwei Möglichkeiten, von denen mindestens eine wahr sein muss:

  1. Es ist tatsächlich jede Wahrheit bekannt oder
  2. Es ist nicht jede Wahrheit erkennbar.
Zwar enthalten nach dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz alle rekursiv aufzählbaren Systeme Aussagen, die man weder beweisen noch widerlegen kann – möglicherweise existieren also Wahrheiten, die nicht erkennbar sind –, da wir es aber nicht genau wissen (können), ist jede Wahrheit ist erkennbar noch nicht widerlegt. Somit muss offen bleiben, ob 1. oder 2. zutrifft.

Aussage

Die Freunde beinahe jeder Person haben durchschnittlich mehr Freunde als die Person selbst.

Analyse

Schauen wir uns zuerst ein Beispiel an. Die folgende Graphik zeigt ein soziales Netzwerk mit Personen und deren Freundschaftsbeziehungen untereinander.

Die erste Zahl gibt an, wie viele Freunde die Person hat. Die zweite Zahl gibt an, wie viele Freunde die Freunde der Person durchschnittlich haben.

Nur vier von elf Personen (nämlich Clara, Friedrich, Ida und Karl) haben selbst mehr Freunde als ihre Freunde im Durchschnitt.
Allgemein ist die durchschnittliche Anzahl der Freunde einer beliebigen Person µ=ΣPerson|Freunde(Person)||Personen|=2·|Freundschaftsbeziehungen||Personen|. (µ ist also die Summe aller ersten Zahlen in der Graphik geteilt durch die Anzahl der Personen.) In unserem Beispiel: µ=2·1911=3,5, d. h. jede Person hat durchschnittlich 3,5 Freunde.
Die durchschnittliche Anzahl der Freunde der Freunde einer beliebigen Person ist ν=ΣPerson|Freunde(Person)|22·|Freundschaftsbeziehungen|=µ+σ2µ. (ν ist also die Summe aller zweiten Zahlen in der Graphik geteilt durch die Anzahl der Personen.) In unserem Beispiel: ν=3,5+0,663,5=3,7, d. h. jeder Freund einer Person hat durchschnittlich 3,7 Freunde.
Sowohl im Beispiel als auch generell gilt ν ≥ µ. Somit wurde das Paradoxon mathematisch aufgelöst.
Dasselbe Phänomen ist auch bei anderen sozialen Beziehungen als der Freundschaft zu beobachten. So haben die (Ex-)Partner beinahe jeder Person durchschnittlich mehr (Ex-)Partner als die Person selbst.


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