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Montag, 29. August 2016

Paradoxa: D


Deutsch

Um auf drei Paradoxa zu kommen, musste ich heute ein bisschen mogeln und habe dem letzten, allgemein als Gefangenenparadoxon bekannten, eine etwas wörtlichere Übersetzung aus dem Englischen verpasst. Dies ändert jedoch nichts an der Interessantheit des Paradoxons. ;-)

Viel Spaß beim Lesen!

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Aussage

Wir stellen uns eine handelsübliche Dartscheibe vor und nehmen an, dass jeder geworfene Dartpfeil auch einen zufälligen Punkt auf der Scheibe trifft. Sei P die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfeil einen bestimmten Punkt trifft. (Diese ist bei einer Zufallsverteilung für alle Punkte gleich groß.) P=APfeilAScheibe, d. h. P ist die Aufschlagfläche des Pfeils geteilt durch die Fläche der Scheibe. Für die Gesamtwahrscheinlichkeit, die Scheibe zu treffen, ergibt sich Pges=P·N, wobei N die Anzahl der Punkte auf der Scheibe ist. Da N=AScheibeAPfeil, ist Pges=APfeilAScheibe·AScheibeAPfeil=1 (=100%). Wäre ja auch komisch, wenn nicht, da wir doch eingangs festgelegt haben, dass wir die Scheibe immer treffen.

Wir stellen uns nun eine unendlich große Dartscheibe vor und nehmen wieder an, dass jeder geworfene Dartpfeil auch einen zufälligen Punkt auf der Scheibe trifft. Es wäre nun logisch, wenn die Gesamtwahrscheinlichkeit, die Scheibe zu treffen, wieder Pges=1 wäre, denn wir treffen ja auch die unendlich große Dartscheibe immer. Aber:

  1. Betrachtungsweise: P müsste größer als 0 sein, da ansonsten kein Punkt je getroffen würde. Da es unendliche viele Punkte gibt, ist N=. Somit ist Pges=P·=.
  2. Betrachtungsweise: Da P=APfeilAScheibe=APfeil=0, ist auch Pges=0·N=0.
Es sieht also so aus, als ob die Gesamtwahrscheinlichkeit entweder gleich unendlich oder gleich null – beides offensichtlich falsche Werte –, aber keinesfalls gleich eins – der zu erwartende Wert – ist.

Analyse

Für die Auflösung des Paradoxons müssen wir beide Betrachtungsweisen vereinen. Für die Gesamtwahrscheinlichkeit gilt immer Pges=APfeilAScheibe·AScheibeAPfeil=AScheibeAScheibe. Für nichtunendliche Zahlen wird dieser Bruch immer eins. Für AScheibe= ist AScheibeAScheibe= jedoch undefiniert. Wenn Funktionen wie AScheibeAScheibe undefinierte Stellen haben, dann betrachtet man in der Praxis den Grenzwert an dieser Stelle: limAScheibeAScheibeAScheibe=1. Der Grenzwert ist in diesem Fall der Wert, den der Bruch annimmt, wenn die Fläche der Scheibe nicht gleich unendlich ist, sondern sich unendlich annähert. Und da der Bruch an allen definierten Stellen eins ist, ist er auch an dieser undefinierten Stelle eins.

Aussage

Je mehr Kinder sich eine Bevölkerung leisten kann, desto weniger setzt sie in die Welt. Veranschaulicht wird dieser Sachverhalt durch das folgende Diagramm, welches die Fertilitätsrate, d. h. grob gesagt die Kinder pro Frau, in Abhängigkeit vom Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt darstellt:


Quelle: Die Daten für das Pro-Kopf-BIP (2011 – 2015) und die Fertilitätsrate (2013) wurden erhoben von der Weltbank; zuletzt eingesehen am 18.08.2016. Das Diagramm wurde mit OpenOffice 4.1.1 erstellt.

Dabei repräsentiert jeder Datenpunkt ein Land. In Deutschland betrug das Pro-Kopf-BIP zum Erfassungszeitpunkt der Daten 47.268 USD (ca. 42.000 EUR) und die Fertilitätsrate lag bei 1,4. Noch ein paar weitere G-20-Länder:
Land  Pro-Kopf-BIP  Fertilitätsrate
Indien602 USD2,5
Südafrika13.165 USD2,4
Mexiko17.277 USD2,3
Frankreich39.678 USD2,0
Großbritannien41.325 USD1,9
Deutschland47.268 USD1,4

Das Phänomen ist allerdings nicht nur im Ländervergleich zu beobachten, sondern auch im Einkommensvergleich innerhalb eines Lands: So haben Menschen mit höheren Einkünften in der Regel weniger Kinder. Für Menschen mit höherer Bildung trifft dasselbe zu. Mit diesem Paradoxon unterscheidet sich der Mensch maßgeblich vom Fortpflanzungsverhalten im Tierreich.

Analyse

Bei der Analyse des Paradoxons sind vor allem die drei Fragen „

  1. Warum,
  2. Wie lange schon/noch und
  3. Mit welchen Folgen
tritt das Phänomen auf?“ interessant.
Zu 1.: Einerseits kann man eine Kosten-Nutzen-Bilanz aufstellen. Kinder kosten, bevor sie eigenes Geld verdienen, eine Menge, unterstützen die Eltern dann aber, wenn diese kein eigenes Einkommen mehr haben. Je eher sich mögliche Eltern mit ihrem Einkommen selbst absichern können, desto weniger nutzen ihnen Kinder. Andererseits schränken Kinder die eigene Lebensgestaltung und individuelle Freiheit stark ein. Doch je weniger Einkommen man bezieht, desto weniger Möglichkeiten, auf die man verzichten müsste, hat man überhaupt.
Zu 2.: Das Paradoxon bildete sich Ende des 19. Jahrhunderts durch den von einer Bevölkerungsexplosion in den Mittel- und Unterschichten und einer Erhöhung des Lebensstandards ausgelösten demographischen Übergang heraus und bildet sich vermutlich auch nach einem Absinken des Lebensstandards nicht wieder zurück (s. Wikipedia).
Zu 3.: Auch über mögliche Folgen wird viel spekuliert. Größte Sorge ist, dass die Bevölkerung einem dysgenischen/kakogenischen Prozess ausgesetzt und dabei vor allem die Intelligenz betroffen ist. In einigen Studien wurde festgestellt, dass eine geringere Kinderzahl bei Menschen mit höherem IQ zu einer Stagnation und sogar Absenkung des Durchschnitts-IQs in der Bevölkerung führt (s. u. a. Lynn, R., & Harvey, J. (2008). The decline of the world’s IQ. Intelligence, 36(2), 112-120.).

Aussage

Im Todestrakt sitzen die drei Gefangenen Anton, Berta und Cäsar, als der Gouverneur sich gnädig zeigt und beschließt, einen von den dreien begnadigen zu lassen. Die Auswahl wird per Losentscheid getroffen. Anton überredet einen Wärter, ihm einen Tipp zu geben, wer begnadigt wurde: Der Wärter soll ihm

  • Berta nennen, falls Cäsar begnadigt wurde,
  • Cäsar nennen, falls Berta begnadigt wurde, und
  • (eine Münze werfen und) Berta oder Cäsar nennen, falls Anton begnadigt wurde.
Etwas später sagt der Wärter zu Anton, dass Berta hingerichtet wird. Anton freut sich, da er glaubt, dass seine Überlebenschance von ⅓ auf ½ gestiegen ist, und teilt mittels Klopfzeichen seine Unterredung mit dem Wärter Cäsar mit, welcher in der Nachbarzelle sitzt. Cäsar freut sich ebenfalls, da er wiederum glaubt, dass seine Überlebenschance von ⅓ auf ⅔ gestiegen ist. Welcher der beiden Gefangen schätzt seine Überlebenschance richtig ein? Wer liegt daneben?
Die Analyse wird zeigen, dass Anton danebenliegt und Cäsar richtig einschätzt. Antons Überlebenschance beträgt weiterhin ⅓, Bertas ist auf 0 gesunken und Cäsars beträgt somit ⅔. Antons Frage bringt ihm also überhaupt nichts.

Analyse

Zunächst einmal überlegen wir uns die bedingten Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Wärter Berta nennt (N), wenn er schon weiß, welcher der Namen Anton, Berta und Cäsar auf dem Los (L) steht:

P(N=Berta | L=Anton) = ½
P(N=Berta | L=Berta) = 0
P(N=Berta | L=Cäsar) = 1
P(N=X | L=Y) bedeutet dabei die Wahrscheinlichkeit, dass X genannt wurde, wenn Y auf dem Los steht
Was uns nun interessiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Antons Name auf dem Los steht, wenn wir schon wissen, dass der Wärter Berta genannt hat, also P(L=Anton | N=Berta). Diese kann man mit dem sog. Satz von Bayes ausrechnen:
P(L=Anton|N=Berta)=P(N=Berta|L=Anton)·P(L=Anton)P(N=Berta)=½·½=
Antons Überlebenschance bleibt also bei ⅓. Da durch die Nennung von Berta allerdings Bertas Überlebenschance auf 0 gesunken ist, ist Cäsars Überlebenschance auf 1 − ⅓ = ⅔ gestiegen.
Das Ganze darf man jetzt natürlich nicht so verstehen, dass immer derjenige, der weder gefragt hat noch genannt wurde, die höchste Überlebenschance hat. Die Wahrscheinlichkeit, auf dem Los zu stehen, ist weiterhin für alle ⅓. Die zwei Drittel kommen nur zustande, da wir durch den Tipp des Wärters, welcher den Namen auf dem Los schon kennt, bereits eine Person ausschließen konnten, und beziehen sich auf die restlichen zwei Gefangenen.


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