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Montag, 22. August 2016

Paradoxa: C


Deutsch

Wer gedacht hat, dass es ob der kleinen Anfangsbuchstabenhäufigkeit von C heute nichts zu erzählen gibt, hat sich wohl geirrt. Auch heute gibt es drei spannende Paradoxa. Neben das Paradoxon, die Paradoxa kann man übrigens auch das Paradox, die Paradoxe, die Paradoxie, die Paradoxien oder das Paradoxe, die Paradoxen sagen, ganz wie einem beliebt.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Einem Beispiel des Catch-22-Problems sehen sich vor allem Berufseinsteiger gegenüber:

  1. Um sich für eine Stelle zu bewerben, muss man einige Jahre Erfahrung haben.
  2. Um Erfahrungen zu sammeln, muss man eine Stelle haben.
  3. Um eine Stelle zu bekommen, muss man sich für eine Stelle bewerben.
Die Bewerbung, die Erfahrung und die Stelle stehen hierbei in einer zyklischen Abhängigkeit ...

… ⇐ Stelle ⇐ Bewerbung ⇐ Erfahrung ⇐ Stelle ⇐ Bewerbung ⇐ Erfahrung ⇐ Stelle ⇐ Bewerbung ⇐ …

..., die zur Folge hat, dass kein Berufseinsteiger eine Stelle bekommt.


Quelle: http://9gag.com/gag/axNmLRn/getting-a-job-nowadays

Das Problem ist dabei nicht der Widerspruch zwischen diesen Regeln an sich und der Tatsache, dass es eben doch Leute gibt, die eine Stelle haben, sondern dass es überhaupt solche widersprüchlichen und offenbar unentrinnbaren Regeln gibt. Das Catch-22-Problem ist somit eine Metapher für solche Regeln, wo immer sie auftauchen.

Analyse

Den Namen verdankt das Problem dem 1961 erschienenen Antikriegsroman Catch-22 von Joseph Heller. In dem dort beschriebenen Problem geht es um die Freistellung vom Kriesdienst aufgrund von Unzurechnungsfähigkeit:

Damit man vom Kriegsdienst freigestellt wird (F), muss man unzurechnungsfähig sein (U) und eine diesbezügliche Untersuchung beantragen (B).F ⇒ (U & B)
Aber keine unzurechnungsfähige Person beantragt eine Untersuchung, da sie ja selbst nicht mitbekommt, dass sie unzurechnungsfähig ist.U ⇒ ¬B
Folglich ist jede Person entweder nicht unzurechnungsfähig oder hat keine Untersuchung beantragt.¬U ∨ ¬B
Folglich ist keine Person gleichzeitig unzurechnungsfähig und hat eine Untersuchung beantragt.¬(U & B)
Aus der ersten und der letzten Zeile folgt, dass niemand vom Kriegsdienst freigestellt wird, da niemand die notwendigen Bedingungen dafür erfüllt.¬F

Das Beispiel illustriert, wie falsche Hoffnung unter den Menschen erzeugt wird: Jeder kann hoffen, dem Kriegsdienst zu entgehen, wenn er nur die richtigen Bedingungen erfüllt, dabei ist es unmöglich, sie zu erfüllen.
Andersherum ist es beim Einführungsbeispiel: Die Bewerber können aufgrund der widersprüchlichen Regeln nicht hoffen, eingestellt zu werden; aber da es genug Leute gibt, die arbeiten, muss es welche geben, die sich beworben haben, ohne Erfahrung zu besitzen, oder welche, die Erfahrung besitzen, ohne eine Stelle gehabt zu haben, oder welche die eine Stelle bekommen haben, ohne sich zu bewerben.

Aussage

Erklärung von (In-)Transitivität

Transitivität: Eine Relation R zwischen den Elementen einer Menge ist transitiv, wenn für drei Elemente x, y und z dieser Menge gilt, dass aus xRy und yRz stets xRz folgt.
Einfaches Beispiel: Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen ℕ={1, 2, 3, ...}. Die Relation < (Kleiner-als-Relation) ist transitiv, da für alle Zahlen x, y, z aus ℕ gilt: x<y & y<z ⇒ x<z. Bsp.: 5<12 & 12<42 ⇒ 5<42.
Intransitivität: Eine Relation R zwischen den Elementen einer Menge ist intransitiv, wenn für mindestens drei Elemente x, y und z dieser Menge gilt, dass xRy und yRz, aber nicht xRz gilt.
Einfaches Beispiel: Wir betrachten die Menge der Schnick-Schnack-Schnuck-Zeichen {Schere, Stein, Papier}. Die Relation schlägt ist intransitiv, da für die drei Zeichen Stein, Schere und Papier gilt: Stein schlägt Schere und Schere schlägt Papier, aber nicht Stein schlägt Papier.
Das nach Nicolas de Condorcet (18. Jh.) benannte Paradoxon tritt bei Wahlen mit Präferenzlisten auf. Stellen wir uns eine Bürgermeisterwahl zwischen einer Arbeiterpartei (AP), einer Bauernpartei (BP) und einer Christenpartei (CP) vor. Jeder Bürger hat eine individuelle Präferenzliste der Parteien. Die Präferenz ist dabei eine transitive Relation: Wenn ein Bürger die XP gegenüber der YP präferiert und die YP gegenüber der ZP präferiert, dann präferiert er auch die XP gegenüber der ZP. Zur Wahl werden nun nicht nur eine oder zwei Stimmen, sondern die ganze Präferenzliste abgegeben. Die Auszählung ergibt folgende Ergebnisse:

Anteil:33,3%33,3%33,3%
Erstwunsch:APBPCP
Zweitwunsch:BPCPAP
Drittwunsch:CPAPBP

Welche Partei darf nun den Bürgermeister stellen? Die AP wurde mehrheitlich gegenüber der BP bevorzugt und die BP wurde mehrheitlich gegenüber der CP bevorzugt, trotzdem wurde die AP nicht mehrheitlich gegenüber der CP bevorzugt (sondern umgekehrt). Wir halten fest: Die Präferenz eines Einzelnen ist transitiv, die kollektive Präferenz ist jedoch intransitiv.

Analyse

Die Nichtkenntnis dieses Paradoxons kann zu irreführenden Wahlergebnissen führen. Ließe man zum Beispiel zuerst zwischen der AP und der BP und anschließend zwischem dem Sieger und der CP abstimmen, so siegte zuerst die AP über die BP, womit letztere aus der Wahl ausschiede, und anschließend siegte die CP über die AP. Somit wäre die CP der Sieger der Wahl, obwohl es überhaupt keine Mehrheit gibt, die die CP gegenüber den anderen beiden Parteien präferiert. Kommt man auf das Schnick-Schnack-Schnuck-Beispiel von oben zurück, dann ergibt sich der analoge Fall, wenn jeder von drei Spielern ein anderes der drei Zeichen genommen hat. Vergleicht man nun zuerst die Zeichen der zwei ersten Spieler und dann das Zeichen des Gewinners mit dem des dritten Spielers, so gewinnt immer der dritte Spieler.

Aussage

Currys Paradoxon habe ich bereits im vor3letzten Beitrag vorgestellt. Ich zitiere:

Curry zeigt, wie man durch ein paar einfa­che Um­formun­gen ei­ne be­liebige, auch noch so ab­surde, Aus­sage beweisen kann.
Sei dazu un­se­re Bei­spiel­aus­sage A: Kamele können fliegen. Die­se bet­ten wir ein in ei­ne an­de­re Aus­sage S: Wenn die­ser Satz wahr ist, dann können Kamele fliegen. Dann gilt offensichtlich S = (S ⇒ A). Mit diesem Wis­sen können wir zu­nächst S beweisen:
1 = (S ⇒ S) = (S ⇒ (S ⇒ A)) = (S ⇒ A) = S.
Und mit der Gültigkeit von S folgt 1 = (1 ⇒ A) und somit auch die Gültigkeit von A. Das Para­doxon ergibt sich, wenn man A = 0 (die unmögli­che Aus­sage) setzt, denn damit bekommt man 1 = (1 ⇒ 0) = 0, ei­nen Wider­spruch.
A ⇒ B bedeutet dabei A impliziert B oder auch B folgt aus A. 1 steht für wahr und 0 steht für falsch.

Analyse

Das Paradoxe, jede Aussage beweisen zu können, kann verschieden aufgelöst werden. Im Folgenden seien zwei Möglichkeiten vorgestellt. Die erste ist für alle, die zweite nur für Semantiker.

  1. Das Paradoxon entsteht offenbar aus dem metasprachlichen Selbstbezug dieser Satz in S. Mit einer Metasprache spricht man über eine Objektsprache. Der Satz Kamele können fliegen ist objektsprachlich, d. h. wir können ihm eindeutig einen Wahrheitswert zuordnen, sofern wir alle Kamele und alle fliegenden Dinge kennen. Wenn man über Wörter oder Sätze selbst redet, dann verwendet man Metasprache: Kamele ist ein Substantiv. und Kamele können fliegen ist ein wahrer Satz. sind metasprachlich. So ist auch Dieser Satz ist ein wahrer Satz metasprachlich, nur, dass er sich auf sich selbst bezieht. Wenn wir nun in unserer Logik metasprachliche Ausdrücke verbieten, dann entsteht auch das Paradoxon nicht.
  2. Die Frage, ob S⇒A gilt, kann man mit der Mögliche-Welten-Theorie betrachten. Eine Belegung sei 𝒜=(𝒰,𝒥) mit dem Universum 𝒰 und der Interpretation 𝒥=(W,N,[ ],f). Dabei sei W eine Menge von Welten, N⊆W die Teilmenge der normalen Welten, [ ]:{A,B,…}→𝒫(W) eine Funktion, die jedem Satz S∈{A,B,…} die Menge von Welten zuweist, in denen S wahr ist, und f:𝒫(W)×𝒫(W)→𝒫(NN) eine Funktion, die jedem (geordneten) Paar ([A],[B]) eine Teilmenge von nichtnormalen Welten zuweist, wobei NN=W\N. [ ] sei nun induktiv definiert als ∀A,B:
    • [A∧B]=[A]∩[B]
    • [A∨B]=[A]∪[B]
    • [A⇒B]=N∪NN, wobei N=W, falls [A]⊂[B], und sonst N=∅ sowie NN=f([A],[B])
    S⇒A sei nun gültig gdw. ∀𝒥i:∀N∈Ni:N⊨(S⇒A), d. h. gdw. S⇒A in den normalen Welten aller Interpretationen wahr ist. Betrachten wir als Einziges die Sätze S und A, dann kann es vier mögliche Welten geben, da S und A jeweils 0 oder 1 sein können. Somit kann es 16 verschiedene Wis geben. In vier Fällen ist Ni=Wi und zwar genau dann, wenn S in weniger Welten aus Wi wahr ist als A. Dies ist dann der Fall, wenn Wi nur Welten enthält, die S den Wert 0 oder A den Wert 1 zuweisen. In den anderen 12 Fällen ist N=∅ und aus der leeren Menge folgt ja bekanntlich alles.
    Nachzulesen ist das Ganze in der Stanford Encyclopedia of Philosophy unter Curry's Paradox \ 3.2 A simple non-normal worlds solution und hier gibt es ein PHP-Skript von mir, dass alle normalen Welten für S⇒A ausgibt.


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