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Mittwoch, 31. Dezember 2014

Bohnanza: Wert einer Bohne
 Bohnanza: A bean’s value


DeutschEnglish

Ich als be­geis­ter­ter Bohnan­za-Spie­ler (mitt­ler­wei­le be­sit­ze ich stol­ze 33 Kästchen[1]) ma­che mir natürlich im­mer wie­der ma­the­ma­ti­sche Ge­dan­ken rund ums Bohnan­za-Spiel. Jetzt ha­be ich mir über­legt, wie man den Wert ei­ner Boh­ne am bes­ten in Zah­len aus­drückt. Für die Han­del­s­pha­se wäre solch ei­ne An­ga­be be­stimmt recht hilf­reich, wenn man sich nicht über den Tisch zie­hen las­sen will.
Die ein­fachs­te Möglich­keit, ei­ne un­gefähre Vor­stel­lung für den Wert ei­ner Boh­ne zu be­kom­men, ist wohl fol­gen­de: W=1/A, wo­bei A die An­zahl der Boh­nen die­ser Sor­te im Spie­le ist. Natürlich müss­te man hier mit der ak­tu­el­len An­zahl und nicht mit der auf­ge­druck­ten, zu Be­ginn des Spie­les vor­han­de­nen An­zahl rech­nen. Da die­se aber ver­mut­lich nie­mand mitzählt, könn­te man sie un­ter der An­nah­me, dass die Boh­nen gleichmäßig aus­schei­den, wie folgt be­rech­nen: A(t)=A0*(1-t/tges), al­so W(t)=1/A(t). Al­ler­dings bringt die­se Be­rech­nung gar nichts, da sich dann die Wer­te al­ler Boh­nen in glei­chem Maße erhöhen. Hat man meh­re­re Boh­nen im An­ge­bot, kann man die ein­zel­nen Wer­te ein­fach ad­die­ren.
Zum Bei­spiel hätten ei­ne Brech­boh­ne (14) und ei­ne Feu­er­boh­ne (18) den Ge­samt­wert W=1/14+1/18=12,7% und wären da­mit ge­nau­so wert­voll wie ei­ne Stan­gen­boh­ne (13) und ei­ne Blaue Boh­ne (20).
Al­ler­dings wären ei­ne Sau­boh­ne (16) und ei­ne Puff­boh­ne (16) nach die­ser Be­rech­nung gleich­wer­tig (bei­de W=6,3%), was sie mei­ner Mei­nung nach aber nicht sind.
Des­halb hat­te ich die Idee, den Wert der Boh­nen in Ta­lern aus­zu­drücken, da es bei dem Spiel oh­ne­hin dar­um geht, die meis­ten Ta­ler zu er­wirt­schaf­ten. Auf je­der Boh­nen­kar­te be­fin­det sich ein Bohno­me­ter, wor­aus man ab­le­sen kann, wie vie­le Ta­ler man für ei­ne be­stimm­te An­zahl an Boh­nen be­kommt.
Bsp.:Sau­boh­ne (3→1 / 5→2 / 7→3 / 8→4)
Puff­boh­ne (4→1 / 5→2 / 6→3 / 7→4)
Er­trag in Ta­lernWert in Ta­lern
An­zahlSau-Puff-Sau-Puff-
100¼
200½
3101¾
4111
52222
6233
73434
8444

Ob­wohl man bei Bohnan­za we­der mit hal­b­en Boh­nen noch mit hal­b­en Ta­lern han­deln kann, ist die­se Me­tho­de zur Wert­be­stim­mung deut­lich bes­ser als die vor­he­ri­ge, wie fol­gen­des Ex­trem­bei­spiel de­mons­triert: Je­mand hat ei­ne Schnip­pel­boh­ne (2) im An­ge­bot und möchte sie ge­gen Mok­ka­boh­nen (28) tau­schen. Nach der ers­ten Me­tho­de hätte ei­ne Schnip­pel­boh­ne den Wert W=1/2=50%, was so­mit 14 Mok­ka­boh­nen (W=14/28=50%) ent­spräche. Al­ler­dings be­kommt man dafür mehr Ta­ler, als für ei­ne ein­zi­ge Schnip­pel­boh­ne. Für ei­ne Schnip­pel­boh­ne be­kommt man nämlich 1 Ta­ler, ge­nau wie für 5 Mok­ka­boh­nen.
Ei­ne drit­te Möglich­keit für die Wert­be­stim­mung ei­ner Boh­ne soll den Vor­teil ha­ben, dass sie un­abhängig von der An­zahl der zu ver­tau­schen­den Boh­nen ist. Man neh­me ein­fach den Durch­schnitt der ein­zel­nen Bohno­me­ter­an­ga­ben, um so einen fes­ten, boh­nen­spe­zi­fi­schen Wert zu be­kom­men, und mul­ti­pli­zie­re die­sen dann mit der An­zahl an Boh­nen.
Bsp. Au­gen­boh­ne (10): (2→1 / 4→2 / 5→3 / 6→4),
W=(1/2+2/4+3/5+4/6)/4=0,57.
Bsp. Blaue Boh­ne (20): (4→1 / 6→2 / 8→3 / 10→4),
W=(1/4+2/6+3/8+4/10)/4=0,34.
Ei­ne Au­gen­boh­ne ent­spräche so­mit 0,57/0,34=1,68≈2 Blau­en Boh­nen.
Zu gu­ter Letzt ha­be ich noch ein klei­nes Pro­gramm ge­schrie­ben, wel­ches nach al­len drei Me­tho­den zwei ver­schie­de­ne Boh­nen­sor­ten in­ein­an­der um­rech­net. Die Ta­bel­le für Me­tho­de 2 kann gut zum Um­rech­nen beim Han­deln ver­wen­det wer­den. Me­tho­de 2 scheint mir auch, die bes­te zu sein. Es gibt noch ei­ni­ge Boh­nen­sor­ten mehr, als man auswählen kann; die auf­ge­lis­te­ten Boh­nen­sor­ten ent­stam­men den­je­ni­gen Bohnan­za-Spie­len, wel­che ich be­sit­ze.

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[1]Diese stolze Kollektion sei hier einmal aufgereiht:
  • Al Cabohne – Zu zweit gegen die Bohnenmafia (Amigo)
  • Auf der schwäb’schen Eisenbohn (Lookout)
  • Bohn Camillo (Lookout)
  • Bohn Hansa (Amigo)
  • Bohn to be wild! (Amigo)
  • Bohnanza – „Ich glaub’ es hackt!“ (Amigo)
  • Bohnanza – 20 Jahre (Amigo)
  • Bohnanza – Bohnenmarkt (Amigo)
  • Bohnanza – Das Duell (Amigo)
  • Bohnanza – Erweiterungs-Set (Amigo)
  • Bohnanza – Fan-Edition (Amigo)
  • Bohnanza – Fun & Easy (Amigo)
  • Bohnanza – Schnupperspiel (Amigo)
  • Bohnaparte – Liberté! Egalité! Bohnité! (Amigo)
  • Bohnedikt (Lookout)
  • Bohniläum – 15 Bohnen – 15 Graphiker (Amigo)
  • Bohnissima – „… jetzt hackt’s aber wirklich!“ (Leinhaus)
  • Bohnkick – Das Wunder von Bohn (Amigo)
  • Bohnopoli (Leinhaus)
  • Bohnröschen (Amigo)
  • Das große Bohnanza Buch (Amigo)
  • High Bohn – Bohnenduell um 12 Uhr mittags (Amigo)
  • Kannibohne (Lookout)
  • La Isla Bohnitâ – Bohnanza zur See (Amigo)
  • Ladybohn – Manche mögen’s heiß! (Amigo)
  • Mein erstes Bohnanza (Amigo)
  • Mutabohn (Lookout)
  • Mutterböhnchen (Lookout)
  • Rabohnzel (Lookout)
  • Sissi! Die Bohnenkaiserin (Spielemuseum)
  • Space Beans – Per Bohne durch die Galaxis (Amigo)
  • Telebohn (Lookout)
  • Würfel Bohnanza (Amigo)

I as an ul­ti­mate Bo­hnanza fan (mean­while I proudly own 33 boxes[1]) again and again think about the Bo­hnanza game with math­em­at­ic­al as­pect. Now I re­flec­ted about how to ex­press the value of a bean in num­bers the best way. Such a rep­res­ent­a­tion would be very help­ful in the trad­ing phase don't to get pulled over the bar­rel.
The easi­est way to get an ap­prox­im­ate ima­gin­a­tion of a bean's value even is the fol­low­ing: V=1/N, whereby N is the count of this-type beans in the game. Cer­tainly you have to cal­cu­late with the cur­rent count and not with the im­prin­ted, at the game's start ex­ist­ing one. But be­cause of even nobody counts the beans dur­ing the game you can, un­der the sug­ges­tion that the beans con­sist­ently leave the game, cal­cu­late with: N(t)=N0*(1-t/tall), so V(t)=1/N(t). However this cal­cu­la­tion is sense­less, be­cause then every bean's value in­creases in the same way. If you have sev­er­al beans in of­fer, you eas­ily can add the par­tic­u­lar val­ues.
For ex­ample a Green Bean (14) und a Chili Bean (18) would have the total value V=1/14+1/18=12.7% and there­with they would have the same value as a Stan­gen­bo­hne (13) and a Blue Bean (20).
However, do­ing the cal­cu­la­tion this way both a Stink Bean (16) and a Puff­bo­hne (16) would have the same value (V=6.3%), what is not true to my mind.
That's why I had the idea to ex­press the value of beans in thalers (coins), be­cause the ob­ject of the game already is to earn the most thalers. On every bean card is a beano­met­er, which you can use to read out how many thalers you get for a spe­cif­ic num­ber of beans.
Ex.:Stink Bean (3→1 / 5→2 / 7→3 / 8→4)
Puff­bo­hne (4→1 / 5→2 / 6→3 / 7→4)
gain in thalersvalue in thalers
num­berStinkPuff-StinkPuff-
100¼
200½
3101¾
4111
52222
6233
73434
8444

Al­though you can trade neither with half beans nor with half thalers, this meth­od is much bet­ter than the pre­vi­ous one for cal­cu­lat­ing the value, such as the fol­low­ing ex­ample shows: Someone has a Schnip­pel­bo­hne (2) in of­fer and wants to ex­change it for Mokkabo­hnen (28). Us­ing the first meth­od a Schnip­pel­bo­hne would have the value V=1/2=50%, which would be equal with 14 Mokkabo­hnen (V=14/28=50%). But for those you get more thalers than for only one Schnip­pel­bo­hne. Namely, for one Schnip­pel­bo­hne you get 1 thaler like for 5 Mokkabo­hnen.
A third way to cal­cu­late the value of a bean shall have the ad­vant­age be­ing in­de­pend­ent from the count of beans to ex­change. Just take the av­er­age of the single beano­met­er state­ments to get a con­stant, bean spe­cif­ic value which you can mul­tiply with the count of beans.
Ex. Black-eyed Bean (10): (2→1 / 4→2 / 5→3 / 6→4),
V=(1/2+2/4+3/5+4/6)/4=0.57.
Ex. Blue Bean (20): (4→1 / 6→2 / 8→3 / 10→4),
V=(1/4+2/6+3/8+4/10)/4=0.34.
There­with a Black-eyed Bean would be equal to 0.57/0.34=1.68≈2 Blue Beans.
Last but not least I wrote a little pro­gramme (see the Ger­man part), which is able to con­vert two bean types in­to each oth­er, us­ing all the three meth­ods. The table of the second meth­od is use­ful for con­vert­ing in the trad­ing phase. The second meth­od also seems to me to be the best. There're more bean types in ad­di­tion than you can choose; the lis­ted bean types are in­cluded in one of my own Bo­hnanza games.

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